Université de Moncton

Campus de Moncton - Donald Violette

Examen du Concours de mathématiques Poincaré, édition 2014

CONCOURS DE MATHÉMATIQUES POINCARÉ 2014
           Société mathématique du Canada
Département de mathématiques et de statistique
Personne ressource: Donald Violette, fondateur du Concours
Directives :
Le concours comporte six questions de 10 points chacune.
Lorsque vous rédigez les solutions, des points sont accordés pour la clarté et le style de la présentation. Une solution correcte, mais sans justification ou mal présentée pourrait se voir accorder moins que la moitié des points pour cette question. En revanche, si une réponse n’est pas correcte, mais que le travail est pertinent, il y aura des points d’attribués.
Le mardi 15 avril 2014 à 12 h 30 : Personne ne doit sortir de la salle avant la fin de la première heure de l’examen. Ceci permet, par exemple, à une école de commencer le concours au plus tard à 13 h 30.
Durée : 3 heures
Montrez tout votre travail et justifiez vos réponses.
L’usage des calculatrices n’est pas permis.
Écrivez lisiblement et proprement.
Numéro (ou nom) de district :
Numéro de l’école :
Numéro de l’élève :   

 


Question 1 :
Déterminez, tout en montrant votre travail, le terme général de la suite
1,2/1,3/2, 5/3,8/5, 13/8, 21/13,….
Démontrez que pour tous nombres réels a,b et c, si a<b<c, alors
|a-b|+|b-c|=|a-c| où || désigne le symbole de la valeur absolue.

Jean a un sac de billes. S’il prend les deux tiers des billes du sac, il reste x-44  billes dans le sac; s’il en prend les trois quarts, il reste 66 billes dans le sac. Déterminez la valeur de x.

Question 2 :
Démontrez que deux triangles quelconques qui ont leurs côtés respectivement perpendiculaires ou parallèles sont semblables.

Question 3 :
Si n est un entier, montrez que n^3+(〖n+1)〗^3+(〖n+2)〗^3  est divisible par 9.

Question 4 :
Sébastien possède 10 paires de chaussures distinctes. Il les met toutes dans une caisse d’où il tire au hasard 4 chaussures, l’une après l’autre. Quelle est la probabilité qu'il dispose d'une paire (au moins) de chaussures assorties?

Question 5 :
Installé dans un bar, vous rencontrez deux personnes. L’une d’elle ment toujours et l’autre dit toujours la vérité. Dans l’espoir de trouver celle qui est sincère, vous posez la question à la personne no 1 : « Es-tu sincère? » Elle vous donne une réponse, mais vous ne l’entendez pas. Vous vous retournez vers la personne no 2 et vous lui demandez ce qu’a dit la première et elle vous répond; « Elle a dit qu’elle était sincère ». D’après vous, laquelle des deux est sincère? (justifiez votre travail en montrant votre raisonnement).


Question 6 :
Trouvez toutes les fonctions f qui sont dérivables partout dans les réels ℝ (c’est –à-dire dont la dérivée de f,〖 f,〗^'  existe en chaque valeur réelle) telles que
f(x+y)=f(x)f(y) quels que soient x,y ∈R.

FIN DE L’EXAMEN

 

 

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