Université de Moncton

Campus de Moncton - Donald Violette

Examen du Concours Poincaré, édition 2012

  Société mathématique du Canada
CONCOURS DE MATHÉMATIQUES POINCARÉ 2012
Département de mathématiques et de statistique
Personne ressource: Donald Violette, fondateur du Concours
Directives :
Le concours comporte six questions de 10 points chacune.
Lorsque vous rédigez les solutions, des points sont accordés pour la clarté et le style de la présentation. Une solution correcte, mais sans justification ou mal présentée pourrait se voir accorder moins que la moitié des points pour cette question. En revanche, si une réponse n’est pas correcte, mais que le travail est pertinent, il y aura des points d’attribués.
Le mercredi 4 avril 2012 à 9 h 00 : Personne ne doit sortir de la salle avant la fin de la première heure de l’examen. Ceci permet, par exemple, à une école de commencer le concours au plus tard à 10 h 00.
Durée : 3 heures
Montrez tout votre travail et justifiez vos réponses.
L’usage des calculatrices n’est pas permis.
Écrivez lisiblement et proprement.
Numéro de district :
Numéro de l’école :
Numéro de l’élève :

CONCOURS DE MATHÉMATIQUES POINCARÉ
Deuxième édition                                                                       Le mercredi 4 avril 2012
Question no 1 :
Les nombres 1, 4,9, 25, etc., sont des carrés parfaits.  Trouvez combien il y a de carrés parfaits dans la suite  1, 3, 5, 7, 9,…, 999. (4 points)

Considérons la suite des nombres impairs positifs écrite sous forme pyramidale

1
3    5
7    9     11
13  15   17  19
21  23   25  27  29 
etc.

Déterminez la somme de la 2000e ligne de cette suite. (6 points)

 

Question no 2:
Démontrez que dans un triangle rectangle  ABC, la hauteur relative à l’hypoténuse partage ce triangle en deux triangles semblables au triangle  ABC. (10 points)

Question no 3 :
Soient a_1 et a_2  deux nombres entiers quelconques.  Posons a_(n+1)=〖 a〗_n+a_(n-1)   pour chaque entier n≥2.  Montrez que  ∑_(i=1)^10▒a_i =11a_7. (10 points)


Question no 4 :
Une variable aléatoire X peut prendre les valeurs 1,2,3,4,…,n,… (entiers naturels non nuls) avec une probabilité : p_1=1/2 〖et  p〗_n=2/n(n^2-1)   pour n≥2 (il s’agit de la probabilité que X=n). Calculer l’espérance mathématique de la variable aléatoire X. (Rappel : On appelle l’espérance mathématique d’une variable aléatoire X, qui peut prendre les valeurs x_1;x_2;x_3;… avec des probabilités respectives p_1;p_2;p_3;… ; la quantité  E[X]=x_1 p_1+x_2 p_2+x_3 p_3+⋯) (10 points)


Question no 5 :
Un nombre palindrome ou palindromique  est un nombre qui se lit indifféremment de gauche à droite et de droite à gauche.  À titre d’exemple, 101 et 2002 sont des nombres palindromes.  Démontrez que tout nombre palindrome ayant un nombre pair de chiffres est divisible par 11, c’est-à-dire qu’il s’écrit comme un multiple entier de 11. (Indication : si n est un tel nombre, alors n=a_1 a_2…a_k a_k…a_2 a_1  où k est un entier positif.) (10 points)

Question no 6 :
Trouvez toutes les fonctions dérivables f (c’est-à-dire qui possèdent une dérivée) satisfaisant à la condition f(x+y)=f(x)+f(y) quels que soient x,y ∈R (l’ensemble de tous les nombres réels). (10 points)

 

 

 

 

 

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